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《关于加强数学科学研究工作方案》日前发布——数学思维今何在

资料来源:《经济日报》

密码学家王小云最近获得了2019年未来科学奖的数学和计算机科学奖。她提出了密码哈希函数的碰撞攻击理论,推动了新一代密码哈希函数标准的设计,在金融、交通等重要领域得到了广泛应用,为支持网络信息安全做出了重要贡献。

数学作为自然科学的基础,其实力往往影响着国家实力。几乎所有的重大发现都与数学的发展有关,数学是学习和研究现代科学技术的基本工具。

日前,科技部、教育部、中国科学院和自然科学基金委员会共同制定了《加强数学科学研究工作计划》,强调数学研究的重要性。

数学是自然科学和重大技术创新与发展的基础,已经成为航空航天、国防安全、生物医学、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。那么,数学的本质是什么?《经济日报》记者采访了专业数学研究者和数学爱好者,试图解决这个问题。

如何理解数学思维

中国科学院数学与系统科学研究所副研究员周传认为,数学的本质在于数学思维。“数学思维是指在思考和解决问题的过程中合理运用数学思想和方法的能力。数学思维不是一种知识,而是一种能力。数学思维是建立数学世界最重要的基础。无论是纯粹的数学学习和数学研究,还是数学工具在其他领域的应用,数学思维都起着重要的作用。”周传说。

具体来说,数学思维包括逻辑思维、形象思维、空间抽象思维等。它就像参天大树数学的巨大根系。虽然它从外面看不见,但它为数学提供了重要的营养来源。“我们经常说数学很美,这种美主要体现在它的思维美上。”周传说。

数学思维的美在于实用性和合理性之间的平衡。数学爱好者张健告诉记者,以数学的一个分支统计为例,统计在解决实际问题的过程中给人一种简洁的美感。大数定律、中心极限定律和贝叶斯概率等基本统计定律表明概念世界与感性世界一致后的和谐。它背后的一系列定理在理性与经验、理论与实践、演绎与归纳、公理体系与算法程序的平衡与统一中起着决定性的作用。数据表明,一些精密科学可以通过明确的定义和逻辑来发展,一些问题需要在接近类似测量的情况下加以解决,这需要统计智慧,如误差理论、概率论和数理统计张健说道。

数学思维的美在于优于其他学科的“霸王”之美。根据数据,现代科学的基础是2500年前希腊的几何元素。任何可以称为科学的学科都必须有两个特征:首先,它必须有一个像原始几何一样的公理系统;其次,这一假设可以通过实验得到验证。物理以数学为基础,化学以物理为基础,生物学以物理和化学为基础。归根结底,所有现代科学都是以数学为基础的。“例如,在人工智能领域,基于神经网络的机器学习的整个数学基础是偏微分方程和线性代数,而其他人工智能流派涉及概率论和随机过程。今天的人工智能几乎离不开大数据及其相关统计变量的支持。如果你想在这个领域取得成就,扎实而先进的数学素养是必不可少的。”张健说道。

周传认为数学的美在于其深刻的定义、清晰的逻辑和简洁的结果。例如,著名的哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都可以写成两个质数的和”,简洁而深刻,精彩绝伦。英国伟大的数学家哈代曾经说过,“美是好数学的试金石。丑陋的数学不可能永远持续下去。”哈代的思想与他对数学艺术的崇尚有关,但也在一定程度上反映了数学家对数学理论的审美追求。

如何进行数学思维

数学思维如此重要,我们如何才能获得它?做主题是第一种方法。

周传告诉记者,做这些问题的目的是测试对知识的掌握程度,加强对知识的认知理解,发展思维。任何科学研究都是一个反复试验的过程,数学研究也不例外。当面对数学问题时,我们通常大胆假设,发散思维,尝试各种不同的想法,并仔细推断以证明哪一个是可行的和美丽的周传说:“做练习可以帮助数学工作者加深知识理解,发展创新思维,激发新思想,这对科学研究大有裨益。”

周传认为数学研究不会一帆风顺。对于真正的问题,通常容易想到的想法和方法往往不起作用。这需要数学研究中足够的勇气和毅力。遇到困难时,一个人必须有勇气“打开通往山的道路,用水来弥合鸿沟”,并努力前进到目的地,尽管这一过程可能很长。

此外,阅读更著名的数学著作也很重要。数学研究员王晓晨告诉记者,他的书桌全年都有许多经典著作,如华罗庚的《高等数学导论》、莫里斯克莱因的《古今数学思想》和《普林斯顿数学指南》。“这些书中奇妙的想法经常给人们灵感,让我们这些专业的数学研究人员有一瞬间的灵感,获得有价值的创新想法。”

在王晓晨看来,大多数著名的数学著作简明扼要,这将启发其他领域的专业研究人员和工作人员。例如,在《普林斯顿数学指南》第3卷中,有这样一句谚语:“好奇心是做数学工作的动力。什么时候特殊结果是真的?这是最好的证明,还是有更自然或更美丽的证明?......如果你总是问自己这样的问题,迟早会有一个答案——去发现可能的研究途径。”“人们很容易把数学看作是独立分支的集合,如几何、代数、分析、数论等。几何学主要是试图理解‘空间’的概念,代数是操纵符号的艺术,分析是联系‘无限’和‘连续体’等等。”王晓晨说。

如何运用数学思维

数学思维的应用可以说是灵活、神奇和非凡的。它的应用更多地体现在如何用数学方法思考和解决问题上。

例如,周传目前对图形数据建模和算法的研究是最具竞争力的研究方向之一。这一研究方向的基本思想是以图表的形式组织、建模和分析数据。记者了解到,这种思维方式可以追溯到著名的哥尼斯堡7桥问题:18世纪,普瑞吉尔河(Pregiel River)穿越了欧洲东普鲁士哥尼斯堡郊区的城市。河里有两个岛屿,两岸和两个岛屿之间有7座桥。当时,城市里的居民热烈地讨论了这样一个问题:一个步行者如何能一次走过所有7座桥而不重复从一个地方走过,并最终回到最初的起点?

“乍一看,这个问题似乎并不太难。许多人想试一试,但没人能找到答案。当时,伟大的数学家欧拉从所有人的失败中想到,这样的举动可能根本不存在。欧拉是如何建模和分析这个问题的?”周传解释说,事实上,欧拉的建模工具是一个“图形”。在这幅图中,有4个节点和7个边,节点代表两边和两个岛,边代表桥。欧拉把七座桥的问题转化为在图上寻找特殊路径的问题。后来,他通过数学方法严格证明了这样一条特殊的道路并不存在,这就把七桥问题彻底解决了。

欧拉的思维方式是一种非常有代表性的思维范式,至今仍有很强的指导意义。由于数据实体之间的复杂关联,从图的角度对数据组织建模通常会导致更高的分析和挖掘精度。“例如,在网页的重要性排名中,网页通常被视为图形中的节点,超链接被视为图形中的连通边,数学中的马尔可夫过程被用来描述用户在互联网上的网页浏览行为。在该数学模型的框架下,网页的重要性排序问题转化为对应马尔可夫过程稳定分布的求解问题。这种转变为网页重要性排序提供了一种新的思维方式和更有效的解决方案。”周传说。

“当你真正体会到运用数学思维解决实际问题的美妙之处时,你会觉得‘数学是自然科学的源泉’的说法非常精辟。”张健说道。(经济日报,中国经济网记者梁肖剑)

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